【数と式】式の計算(整式の乗法)

式の計算(整式の乗法)

今回は、数学Ⅰの式の計算(整式の乗法)について解説していきます。
乗法は掛け算のことだから、掛け算を文字を使って表していくよ!

単項式の乗法

単項式というのは、数と文字だけで作られる式だったね!(2,a,3xなど)

まずは、同じ文字を掛け合わせるとどうなるのか理解しよう!

aをn個かけたものを「aのn乗」といい、anと書くんだ。n=1のとき、a1=aとなるから、注意しよう!

anにおけるnを、an指数というんだ。つまり、指数はaが何回かけられているかを表しているんだね!

a=a×a×a というように、nの数だけaがかけられているんだ。

また、a,a2,a3,…というようなaを掛け合わせたものをまとめて、aの累乗というんだ!

累乗はこんな風に計算することができるんだよ!

m,nは正の整数とする

  1. am×an=am+n
  2. (am)n=amn
  3. (ab)n=anbn

これを指数法則というんだ!これから先、ずっと使って行くものだから、しっかりと覚えておこう!

例)

a×a3=(a×a)×(a×a×a)=a2+3=a5

(a)3=(a×a)×(a×a)×(a×a)=a2×3=a6

(ab)=ab×ab=(a×a)×(b×b)=ab

具体的な数でも見てみよう!

①3a×a=3×a2+5=3a7

②2xy4×4x3y=(2×4)×x2+3×y4+2=8x5y6

数は数、文字は文字で計算しているのがわかるね!

整式の乗法

整式の積(掛け算)は、分配法則を使うよ。

分配法則はこれだね!

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

具体例を見てみよう!

①3x(2x+5x+6)

=3x・2x+3x・5x+3x・6

=6x4+15x3+18x

②(2y+5y-4)y

=2y・y+5y・y+(-4)・y

=2y3+5y-4y

※式の中の・は×と同じ意味で使うから、これにも慣れておこう!

このように、積の形で表されているものを一つの整式にすることを、もとの式を展開するというんだ!

展開の公式

展開には公式があるから、一般的なものは覚えておこう!

1,(a+b)2=a2+2ab+b2   (a-b)2=a2-2ab+b2

2,  (a+b)(a-b)=a2-b2

3,  (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

基本の公式は上の3つだ!これは確実に覚えておいてね

じゃ、なぜこ公式が得られるのか確認しよう!

1,(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+ab+ba+b×b=a2+2ab+b2

(a-b)=(a-b)(a-b)=a×a-ab-ba+(-b)×(-b)=a2-2ab+b2

(a-b)2はb2が+になることに注意しよう!

2,(a+b)(a-b)=a×a+ab+a(-b)+b×(-b)=a2-b2

3,(x+a)(x+b)=x×x+xb+xa+ab=x2+(a+b)x+ab

3は展開して、同類項にまとめた形が公式になっているね!

 

今回はここまで、次は工夫して展開するにはどうすればいいのかを紹介して行くよ!

しっかりと理解して次に進めよう!